撰文 | 倪忆
原标题：《张益唐的最新突破，使得人们接近于解决由欧拉和高斯提出的“方便数猜想”》
传奇数学家张益唐近日公布了他关于朗道-西格尔零点猜想的论文，在11月5日山东大学的在线讲座中介绍了这一工作，并于11月8日在北京大学做线上学术报告。张益唐这一成果的意义十分重大，如果证明无误的话，将是解析数论领域里程碑式的工作。我们在《千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文》一文中，试图从外行的角度解读张益唐的工作。山东大学的解析数论专家在《张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破》一文中也进行了专业解读。在我们前面发表的文章中，对张益唐工作的解读可以总结如下：朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。这一成果在解析数论中的意义，比张益唐之前在孪生素数猜想上的突破还要重大。许多读者非常关心的一个问题是，如果张益唐的论文正确的话，他到底有没有证明朗道-西格尔零点猜想？对此，笔者的看法是，这不重要。数论是一门研究整数性质的数学分支。朗道-西格尔零点猜想本身并不是数论问题，而是一个复变函数问题，是对狄利克雷L函数可能的零点的大小的估计。数论学家们之所以会关心这个问题，是为了它在数论中的广泛应用。在研究一类解析数论问题时，如果狄利克雷L函数的一个零点非常接近1，对于证明就会有很大影响。朗道-西格尔零点猜想的本质就是说L函数的实零点距离1不那么近。具体在量化距离远近的时候，朗道-西格尔采用的标准是
，
猜想和1之间的距离小于这个数的实零点（即西格尔零点）不存在。那么现在张益唐就相当于用另外一种方式来量化这个距离，他宣称和1之间的距离小于
的实零点不存在。这个结论比原来版本的朗道-西格尔零点猜想要弱，但对于数论中的应用已经足够了。即便以后有人能解决原来版本的朗道-西格尔零点猜想，也不会给数论学家带来更多实质上的帮助。从这个角度来说，认为张益唐解决了朗道-西格尔零点猜想也未尝不可。我们之所以说张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个“变形”（variant），就是因为这一说法比说他证明了该猜想的“弱版本”更能准确地反映这一成果的意义。在张益唐新公布的论文第一章中，他宣布了两个定理，分别是对于L(1,χ)的估计
以及对西格尔零点的估计：可能存在的西格尔零点不大于
.
其中c1和c2都是跟D无关的，可以计算出来的正实数。
“可以计算出来的”意思就是可以顺着证明过程，一步一步地把这个常数因子具体算出来。有的定理只会告诉你存在这么一个常数，但是你没法根据证明过程算出这个常数到底是多少。对于朗道-西格尔猜想的数论应用来说，知道这个常数的具体数值是非常关键的。
上面的指数-2022和-2024都是可以改进的数字，就像他的孪生素数猜想论文中的七千万一样，只是为了计算方便而选取出来的。当然选取成目前的数字，明显是在致敬今年的年份。
当年在张益唐的孪生素数猜想论文发表后，数论专家们发起了一个Polymath项目，将张益唐文中的七千万最终改进为246. 如果张益唐现在的工作得到证实，可以想象同样会有很多专家来改进他的估计。这里的改进有两方面，一方面是要具体算出两个常数c1和c2的值，另一方面是改进其中的指数，争取把2022和2024缩小。比起孪生素数猜想的情形，这些改进的意义要大得多，因为要想把张益唐的工作应用到数论问题中，肯定是所得到的估计越强越好。在国外reddit、mathoverflow等网站上，许多网友对张益唐的工作发表了评论。一位网友说：“我确信他为了能在2023年之前把论文写出来而争分夺秒地工作。”下面回复：“哦，张益唐和他有趣的常数。如果这篇文章正确，大家会很兴奋地看到另外一个改进常数的狂热polymath项目。”
此外还有别的一些犀利吐槽：“如果这篇论文不能在今年底之前发表，我会很不爽。”“如果他工作得更努力，就能在去年写出这篇文章，得到一个更好的指数-2021。”“突发新闻：Polymath项目为了改进张益唐的指数而发明时间机器。”
不过，也有一些网友发表了专业性的评论。其中，最引人注目的一个评论是一位叫Stopple的网友发表的。如果读者近期关注张益唐的相关新闻，可能对这个名字不感陌生。此君就是张益唐的同事，解析数论专家Jeffrey Stopple。他曾说：“如果张益唐能够证明朗道-西格尔零点猜想，就相当于一个人被闪电击中两次。”这句话最近被新闻广泛引用，以说明张益唐的工作是多么令人震惊。Stopple指出，张益唐的成果能够用来研究欧拉和高斯遗留下来的一个关于“方便数”（idoneal number）的问题，把它化为有限次计算。这一问题在文献中并没有公认的名字，我们姑且称之为“方便数猜想”。在张益唐的工作之后，这一猜想或许很快就会成为定理。那么，这是一个什么样的猜想呢？（以下关于方便数猜想的介绍主要参考了Günther Frei和Ernst Kani的综述文章。）
要介绍“方便数猜想”，需要追溯到17世纪的法国数学家费马。费马考虑过这样一个问题：哪些自然数可以表示成两个平方数的和？例如1、2、4、5等数能表示成平方和：
1=0 1, 2=1 1, 4=0 4, 5=1 4……
而3、6、7等数就不能表示成平方和。费马完全解决了这个问题。对于素数这种特殊情况，费马的结论是，一个奇素数是平方和当且仅当它是4k 1的形式，其中k是一个整数。
图卢兹市政厅内的费马雕像
进一步可以问，如果一个数能表示成平方和，那么有多少种方式？例如25可以表示成0 25，也可以表示成9 16；65可以表示成1 64，也可以表示成16 49。这个问题也得到了圆满解决，特别地，4k 1型的素数恰好只有一种方式表示成平方和。
在费马之后一百多年，欧拉进一步研究了这个问题。他证明了，如果一个大于1的奇数m只有一种方式表示成平方和x2 y2，并且在这唯一的一种方式中，x和y互素，那么m就是一个素数。（“x和y互素”即x和y仅有1这一个公约数。这个条件很重要，例如45只有一种平方和表示9 36，但它不是素数。）
这一定理可以用来判断一个4k 1型的数是不是素数，比直接根据定义来判断更便捷。举个例子，如果要判断97是不是素数，我们先写出小于它一半的所有平方数：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36. 然后再从97中分别减去这些数，得到：97, 96, 93, 88, 81, 72, 61. 这其中恰好只有一个平方数81，所以97只有唯一一种平方和表示42 92. 我们又能看出4和9互素，所以97是一个素数。
欧拉画像丨图源：维基百科
欧拉的工作表明，1、2、3都是方便数。他随后发现了一个简单的方法，可以判断一个给定的正整数是否是方便数。利用这一判别法，他研究了一万以内的所有正整数，发现其中只有65个方便数，罗列如下：
可以观察到，在1848之后就不再出现新的方便数了。于是欧拉在1778年猜测，以上这些就是全部的方便数。这就是我们所说的“方便数猜想”。
1798年，高斯写出了他的名著《算术研究》。在这本书中，高斯系统地研究了整系数二次型，在这一理论体系下赋予了方便数新的含义。这涉及到代数数论里的一些基本概念，限于篇幅，我们就不作说明了。高斯同样猜测1848就是最大的方便数。（欧拉的猜想当时尚未发表。）
高斯画像丨图源：维基百科
在高斯之后，很多数学家都研究过方便数。1973年，Peter Weinberger利用日本数学家竜沢周雄在朗道-西格尔零点猜想方面的进展，证明了除去已知的65个方便数以外，最多只有两个方便数。如果有两个的话，其中一个一定是另一个的四倍，所以本质上是同一种情况。（Weinberger后来成为一名计算机科学家，是AWK程序设计语言的作者之一。）
根据Stopple的评论，由张益唐的工作能够证明，存在一个（很大的）自然数N，使得大于N的自然数都不是方便数。这样一来，为了证明方便数猜想，只需要对不超过N的自然数逐一验证便可。至于N究竟是多少，取决于张益唐定理1中的具体估计。在忽略常数因子的前提下，Stopple算出N可以取0.75×1025734. 这当然是一个天文数字，但毕竟还是一个有限的数，并非无穷大。如果能够大幅改进张益唐的估计，或许可以把N缩小到一个适合用计算机加以处理的范围，从而证明方便数猜想。
张益唐本人曾说，在他的突破之后，“一百个猜想都变成定理”。或许这个有244年历史的方便数猜想就是其中之一。当然，所有一切都建立在张益唐论文是正确的基础之上。希望解析数论领域的专家们能够早日完成对张益唐论文的检验，使得一切悬念得到破解。
本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。
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张益唐宣布已解决“零点猜想”，将发论文，数学界对张益唐是怎么评价的？
数学系教授张益唐自称已解决郎道-西格尔零点猜想的消息,引发数学界关注。且数学界说老张确实是数学届少见的“大器晚成”，而且他是一位难得的奇才。对于他的这项成就引起了很多人的高度关注，因为数学是一门非常深奥的学科，能够在数学上有所成就是非常不容易的，而且要知道写论文发表论文，需要的时间更长久。很多人也因为没有耐心半途而废。
其实不管是物理学家也好还是数学家也好，他们对社会所创造的贡献远远比我们想象的还要多。他们非常值得我们大家尊敬和学习他们身上的精神。可是我也看到有很多的人把我们不同类型的科学家之间放在一起进行比对，我觉得这种方法，这种做法是非常错误的。每一个科学家都非常的了不起，大家要知道做科研的人都是非常辛苦的，可以说他们没有自己的生活，把自己所有的时间精力都浪费在了科学钻研上。他们值得我们尊敬；然而我们又对我们社会做出过哪些贡献呢？
我们应该从他们身上去学习到他们对于知识的尊敬。很多人觉得我们现在的知识储备已经够了，不需要进行学习，其实这种想法是非常错误的，要知道现在社会是一个知识的时代，如果我们不能够跟上社会的发展，我们肯定是要被淘汰的，在未来有一天我们可能跟自己的孩子沟通起来也会有代沟。发现很多东西，我们因为自己的不学习限制了我们的认知层面。想一想这是多么可怕的事情。希望大家能够通过这个新闻意识到学习的重要性，同时也希望大家能够尊重我们每一位科学家，要知道他们所做出的每一份贡献都是非常不容易的。
张益唐在校友会上提前宣布，已解决“零点猜想”什么是零点猜想？
近日，全球著名数学家张益唐在北京举行的“北大数学新百年论坛”上宣布，他解决了世界各国数学家都关注的“零点猜想”。张益唐出生于1972年，是清华大学计算机科学与技术学院教授、博导，也是北大数学系主任。从1999年起任北京大学校友会秘书长。2012年当选为“北京大学数学科学学院终身教授”。本文主要介绍这位“年轻的博士教授”发现并解决了零点猜想的过程、解决了他关心的数学问题。
一、零点猜想的基本理论
对任何给定的连续formula_1,我们都有一个简单的证明。假设：如果有一个连续formula_1不等于零（无穷大）。我们假设formula_2是连续formula_3的话，那么这个问题就叫零点猜想。零点猜想具有强烈的普遍性和严密性，主要是因为在数学上找零点是一个复杂的过程，其中包括空间、时间、空间与时间之间的线性关系；
二、“零点猜想”在中国的发展历程
2004年，中国数学家赵忠贤在《数学通报》上发表文章，第一次向世人宣布零点猜想并得到学术界的重视。2008年5月25日上午九时在北京隆重举行北京大学“北大数学百年论坛”“北京大学数学科学学院和美国普林斯顿大学数学科学联合中心会议”，正式宣布我国科学家完成猜想的基本结论：“零点猜想”已经得到学术界的高度重视。张益唐解决零点猜想已是不争的事实。
三、张益唐在北大任教时研究的内容
早在1983年，他就被评为“新世纪百千万人才工程”国家级人选。从这次大会的讲话中可以看出，张益唐对数学知识具有浓厚兴趣。1992年硕士毕业后进入北大，先读硕士班，再读博士班。1997年本科毕业后开始做博士论文研究工作，并担任北大数学系主任(1999-2002)、博导(2002-2004)。